DETERMINAÇÃO DA MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE

            Vimos que: v1 = a11w1 + a21w2 e v2 = a12w1 + a22w2,, que permite escrever: . (1)

            Fazendo v1 = (x11, x12), v2 = (x21, x22), w1 = (y11, y12) e w2 = (y21, y22), teremos:

 

 

 

            A mudança de base numa base de ordem 3 ou n, é feita com a mesma fórmula. Exemplos:

1.      Determinar a matriz de mudança de base de A para B.

2.      Determinar a matriz de mudança de base de B para A.

3.      Sabendo que vA = (3, 2), calcular vB.

4.      Sabendo que vB = (5, -10), calcular vA.

5.      Considere-se no IR2, a base canônica, A = {e1 = (1, 0), e21 = (0, 1)} e a base B = {v1 = (1, 3), v2 = (1, -2)}. Sabendo que vA = (5, 0), calcular vB.

6.      Dadas as bases canônicas A = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} e a base B = {v1 = (2, 1), v2 = (-1, 2)} do IR2, calcular vB sabendo-se que vA = (4, 7).

 

ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS

Produto Interno em Espaços Vetoriais

            Chama-se produto interno no espaço vetorial V uma aplicação de V x V em IR que a todo par de vetores  Î V x V associa um número real, indicado por m.v ou por < m, v>, tal que os seguintes axiomas sejam verificados:

a)  m.v = v.m

b) m.(v + w) = m.v + m.w

c)  m).v = α(m.v) para todo número real α.

d) m.m ≥ 0 e m.m = 0 se, e somente se, m = 0.

            Da definição de produto interno decorrem as propriedades:

                                I.      0.m = m.0 = 0, " m Î V

                             II.      (m + v).w = m.w + v.w

                           III.      m.(αv) = α(m.v)

                          IV.      m.(v1 + v2 + ... + vn) = m.v1 + m.v2 + ... + m.vn

Exemplos:

1.          No espaço vetorial V = IR2, a aplicação (função) que associa a cada par de vetores m = (x1, y1) e v = (x2, y2) o número real m.v = 2 x1x2 + 5y1y2 é um produto interno. De fato, para mostrarmos basta verificarmos os 4 axiomas sobre o produto interno.

2.          Se m = (x1, y1,z1) e v = (x2, y2, z2) são vetores quaisquer do IR3, o número real m.v = x1x2 + y1y2­ + z1z2 define o produto interno usual no IR3.

De forma análoga, se m = (x1, x2,..., xn) e v = (y1, y2,..., yn), o número real m.v = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn define o produto interno usual no IRn.

3.          Em relação ao produto interno usual do IR2, calcular m.v, sendo:

a)  m = (-2, 6) e v = (3, -4)

b) m = (4, 8) e v = (0, 0)

4.          Em relação ao produto interno m.v = 2x1x2 + 5y1y2, calcular m.v para m = (2, 1) e v = (3, 2).

5.          Sejam v1 = (1, 2, -3), v2 = (3, -1, -1) e v3 = (2, -2, 0) do IR3. Considerando esse espaço munido do produto interno usual, determinar o vetor m tal que mv1 = 4, mv2 = 6 e mv3 = 2.

 

Espaço Vetorial Euclidiano: Um espaço vetorial real, de definição finita, no qual está definido um produto interno, é um espaço vetorial euclidiano. Estudaremos somente espaços vetoriais euclidianos.